martes, 3 de febrero de 2015

sucesiones

Sucesiones


Una sucesión es una lista de números u objetos que está en un orden especial,por ejemplo: 2,4,18,54, .... es una secuencia geométrica, cada número es 3 veces el número anterior.

 Ejemplo #1
Hasta aquí hemos mostrado ejemplos o ejercicios con la 
fórmula ya establecida o determinada (2n – 1 y  4n + 3).
En los ejercicios de regularidades numéricas se trata de 
encontrar la fórmula (patrón o regla) de formación de una 
sucesión.
Veamos, como ejemplo 1, el siguiente caso, que se da en 
un contexto geométrico:

Regularidades001

¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para llegar a 

 formar la figura 23 en esta sucesión?
Figura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
. . .
100
. . .
n
Fósforos usados
 3
 5
 7
Para saber cuantos fósforos necesitamos para formar la 
figura 23 (o vigésimo tercera) podríamos recurrir al siguiente 
cuadro:

Y completarlo, sumando 2 fósforos cada vez, hasta llegar al 
espacio Figura 23.
Pero no es necesario completar el cuadro para saber 
cuántos fósforos necesitamos para armar la figura 23. Para 
ello debemos determinar la fórmula general que nos dará la 
respuesta de inmediato.
Analicemos:
Para armar la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 • 1 
+ 1
Para armar la figura 2 se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 • 2 
+ 1
Para armar la figura 3 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 • 3
 + 1
Como vemos, el término general es 2n donde el 2 indica el número de fósforos que debe agregarse cada vez que se 
avanza en la construcción de las figuras y la n indica 
(empezando desde la 1) el número de la figura, todo eso
 más 1; por lo tanto, la fórmula o patrón está dada por  2n + 1.
Conocida esta fórmula 2n + 1  reemplazamos simplemente la n por el 23 y sabemos de inmediato que
(2 • 23) +1  nos da 46 + 1 = 47
Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 47 fósforos.



Sucesiones de Números Reales 



Podemos definir de manera más formal una sucesión de números reales como una aplicación h de los números naturales N en el conjunto R de los números reales: h : N → R , n n → h(n) = x . La imagen de n recible en nombre de término n-ésimo o término general de la sucesión. Podemos también definir una sucesión de números reales como aquella función f cuyo dominio es el conjunto infinito de todos los enteros positivos 1,2,3,4,5,K. El valor f (n) de la función se denomina el término n-ésimo de la sucesión. De alguna forma hemos readaptado el concepto de función continua, donde hemos fijado el dominio de la función como el conjunto de los naturales, N. En lo que sigue, diremos que dos sucesiones { }n a y { }n b son iguales si n n x = y para todo n ∈ N .
Ejemplo #2
Observa como se halla el siguiente término en las cadenas de números reales dadas a continuación.  
a) {10,7,4,1,-2, ...} en a) cada término se obtiene sustituyendo 3 al término anterior, es siguiente es -5.
b) { 64, 32, 16, 8, 4,} b) cada término se halla se dividiendo el anterior entre 2, el siguiente es 2.

Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el término anterior.
Ejemplo #3  los siguientes son ejemplos de sucesiones crecientes.
{4,8,8,12,12,12,16,16,16,16,..}    {1,3,5,7,9,11,13 ..}

Una sucesión es decreciente si cada término es menor o igual que el anterior.
Ejemplo #4 el siguiente es ejemplo de sucesiones decrecientes.
{15,14,12,9,5,0,-6,-13,..}         

Una sucesión es oscilante si sus términos alteran de mayor a menor o viceversa.
Ejemplo #5 La sucesión {2,1,4,2,3,2,5, ...} es oscilante, pues al comprar sus términos se observa que el segundo es menor que el primero pero el tercero es mayor que el segundo,etc.

Una sucesión es alternada si se alternas los signos de sus términos.
Ejemplo #6 observa los términos de la sucesión.
{-1,2,-3,4,-5, ..}
Está sucesión es alternada, pues el primer término es negativo, el segundo positivo, el tercero negativo,etc.

Una sucesión es constante cuando todos sus términos tiene el mismo valor.
Ejemplo #7 la siguiente es una sucesión es constante.
{-3,-3,-3,-3,-3, ...}

El Término General


El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo.
De entre los muchos ejemplos que se podrían citar, valgan los siguientes:  

 Ejercicio: 
Resolución: 

 Escribir los seis primeros términos de la sucesión                    an = 3 · 2n - 1

 Resolución:

         a1 = 3 · 21 - 1 = 3 · 1 = 3           a4 = 3 · 23 = 24

         a2 = 3 · 2 = 6                             a5 = 3 · 24 = 48
        a3 = 3 · 22 = 12                         a6 = 3 · 25 = 96


 SUCESIONES RECURRENTES 


Sucesión recurrente es aquella en la que cada término, a partir de uno determinado, se obtiene como una suma de k términos anteriores, multiplicados por números reales. Tal expresión se denomina relación de recurrencia de orden k.
Ejemplos.-
a) En una progresión geométrica de razón r, cada término se expresa en función del anterior como: an + 1 = an . r, para n $ \geq$ 1. Se trata por tanto de una sucesión recurrente de primer orden.
b) Se llama sucesión de Fibonacci a aquella en la que a1 = 1, a2 = 1, y para n $ \geq$ 3, an = an - 1 + an - 2. Los términos de la sucesión son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.... que se llaman también números de Fibonacci. Se trata de una sucesión recurrente de segundo orden. Se demuestra que el término general de la sucesión viene dado mediante la fórmula:        
        un = $ {\frac{1}{\sqrt{5}}}$$ \left[\vphantom{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( 1-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}\right.$$ \left(\vphantom{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right.$$ {\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ \left.\vphantom{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^{n}_{}$ - $ \left(\vphantom{ 1-\frac{\sqrt{5}}{2}}\right.$1 - $ {\frac{\sqrt{5}}{2}}$$ \left.\vphantom{ 1-\frac{\sqrt{5}}{2}}\right)^{n}_{}$$ \left.\vphantom{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( 1-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}\right]$


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